문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 섭동 이론 (문단 편집) ==== 2차 보정 ==== '''[표 1]'''에서 2차 보정에 대해선 다음 방정식을 만족함을 보였다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}^{(0)}\varphi_{n}^{(2)}+\mathcal{H}' \varphi_{n}^{(1)}=E_{n}^{(0)}\varphi_{n}^{(2)}+E_{n}^{(1)}\varphi_{n}^{(1)}+E_n^{(2)}\varphi_{n}^{(0)} \end{aligned} )]}}}|| 1차 보정과 마찬가지로, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \varphi_{n}^{(2)}=\sum_{m'} d_{m'}^{(n)} \varphi_{m'}^{(0)} \end{aligned})]}}} 을 사용한다. 맨 위 방정식에 [math(\varphi_{m'}^{(0)})]과 내적한다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{m'} d_{m'}^{(n)} \langle \varphi_{m'}^{(0)}|\mathcal{H}^{(0)} |\varphi_{m'}^{(0)} \rangle+\sum_{m \neq n}c_{m}^{(n)}\langle \varphi_{m'}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{m}^{(0)} \rangle &=\sum_{m'} d_{m'}^{(n)} E_{n}^{(0)}\langle \varphi_{m'}^{(0)} |\varphi_{m'}^{(0)} \rangle+\sum_{m \neq n}c_{m}^{(n)}E_{n}^{(1)}\langle \varphi_{m'}^{(0)} |\varphi_{m}^{(0)} \rangle+E_n^{(2)}\langle \varphi_{m'}^{(0)}|\varphi_{n}^{(0)} \rangle \\ \sum_{m'} d_{m'}^{(n)}E_{m'}^{(0)} \langle \varphi_{m'}^{(0)}|\varphi_{m'}^{(0)} \rangle+\sum_{m \neq n}c_{m}^{(n)}\langle \varphi_{m'}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{m}^{(0)} \rangle &=\sum_{m'} d_{m'}^{(n)} E_{n}^{(0)}\langle \varphi_{m'}^{(0)} |\varphi_{m'}^{(0)} \rangle+\sum_{m \neq n}c_{m}^{(n)}E_{n}^{(1)}\langle \varphi_{m'}^{(0)} |\varphi_{m}^{(0)} \rangle+E_n^{(2)}\langle \varphi_{m'}^{(0)}|\varphi_{n}^{(0)} \rangle \\ \sum_{m'} d_{m'}^{(n)}(E_{m'}^{(0)}-E_{n}^{(0)}) &=\sum_{m \neq n}c_{m}^{(n)}E_{n}^{(1)}\delta_{mm'}-\sum_{m \neq n}c_{m}^{(n)}\langle \varphi_{m'}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{m}^{(0)} \rangle+E_n^{(2)}\langle \varphi_{m'}^{(0)}|\varphi_{n}^{(0)} \rangle \end{aligned} )]}}}|| 만일 [math(m'=n)]이면 ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} 0 &=\sum_{m \neq n}c_{m}^{(n)}E_{n}^{(1)}\delta_{mn}-\sum_{m \neq n}c_{m}^{(n)}\langle \varphi_{n}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{m}^{(0)} \rangle+E_n^{(2)} \\ \\ \therefore E_n^{(2)}&=\sum_{m \neq n}c_{m}^{(n)}\langle \varphi_{n}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{m}^{(0)} \rangle \\&=\sum_{m \neq n}\frac{\langle \varphi_{m}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{n}^{(0)} \rangle}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}\langle \varphi_{n}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{m}^{(0)} \rangle \\&=\sum_{m \neq n}\frac{|\langle \varphi_{m}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{n}^{(0)} \rangle|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}} \end{aligned} )]}}}|| 으로 2차 보정 에너지를 얻는다. 이 또한, [math(d_{n}^{(n)})]의 정보를 주지 않으므로 규격화 방법으로 구해야 함을 시사하고 있다. [math(\varphi_{l}^{(0)})]과 내적한 것에 대하여 ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{m'} d_{m'}^{(n)}(E_{m'}^{(0)}-E_{n}^{(0)}) \langle \varphi_{l}^{(0)} |\varphi_{m'}^{(0)} \rangle &=\sum_{m \neq n}c_{m}^{(n)}E_{n}^{(1)}\delta_{ml}-\sum_{m \neq n}c_{m}^{(n)}\langle \varphi_{l}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{m}^{(0)} \rangle+E_n^{(2)}\langle \varphi_{l}^{(0)}|\varphi_{n}^{(0)} \rangle \end{aligned} )]}}}|| [math(l=n)]이면 위와 같은 결과를 얻으므로 [math(l \neq n)]일 때를 살펴본다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{m'} d_{m'}^{(n)}(E_{m'}^{(0)}-E_{n}^{(0)}) \delta_{m'l} &=c_{l}^{(n)}E_{n}^{(1)}-\sum_{m \neq n}c_{m}^{(n)}\langle \varphi_{l}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{m}^{(0)} \rangle \\d_{l}^{(n)}(E_{l}^{(0)}-E_{n}^{(0)}) &= \frac{\langle \varphi_{l}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{n}^{(0)} \rangle}{E_{n}^{(0)}-E_{l}^{(0)}}\langle\varphi_{n}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{n}^{(0)} \rangle-\sum_{m \neq n}\frac{\langle \varphi_{m}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{n}^{(0)} \rangle}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}\langle \varphi_{l}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{m}^{(0)} \rangle \\ \\ \therefore d_{m'}^{(n)} &=\sum_{m \neq n}\frac{\langle \varphi_{m'}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{m}^{(0)} \rangle\langle \varphi_{m}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{n}^{(0)} \rangle}{(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)})(E_{n}^{(0)}-E_{m'}^{(0)})}-\frac{\langle \varphi_{n}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{n}^{(0)} \rangle\langle \varphi_{m'}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{n}^{(0)} \rangle}{(E_{n}^{(0)}-E_{m'}^{(0)})^2} \qquad (m' \neq n) \end{aligned} )]}}}|| 마지막으로 [math(d_{n}^{(n)})]을 얻자. 규격화 조건을 다시 살펴보면, ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \langle \varphi_{n}|\varphi_{n} \rangle &=\langle \varphi_{n}^{(0)}+\lambda\varphi_{n}^{(1)}+\cdots|\varphi_{n}^{(0)}+\lambda\varphi_{n}^{(1)}+\cdots \rangle \\ &=1+0 \cdot \lambda+\lambda^2(\langle\varphi_{n}^{(0)}|\varphi_{n}^{(2)} \rangle+\langle \varphi_{n}^{(1)}|\varphi_{n}^{(1)} \rangle+\langle\varphi_{n}^{(2)}|\varphi_{n}^{(0)} \rangle)+\mathcal{O}(\lambda^3) \\ &=1+\lambda^2(d_{n}^{(n)}+d_{n}^{(n)\ast}+\langle \varphi_{n}^{(1)}|\varphi_{n}^{(1)} \rangle ) \end{aligned} )]}}}|| 1차 보정에서 다뤘던 결과를 이용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} d_{n}^{(n)}&=-\frac{1}{2}\langle \varphi_{n}^{(1)}|\varphi_{n}^{(1)} \rangle \\ &=-\frac{1}{2}\sum_{s\neq n}\sum_{m \neq n} c_{s}^{(n)\ast}c_{m}^{(n)} \langle \varphi_{s}^{(1)}|\varphi_{m}^{(1)} \rangle \\ &=-\frac{1}{2}\sum_{s\neq n}\sum_{m \neq n} c_{s}^{(n)\ast}c_{m}^{(n)} \delta_{sm} \\ &=-\frac{1}{2} \sum_{m \neq n} |c_{m}^{(n)}|^2 \\&=-\frac{1}{2}\sum_{m \neq n}\frac{|\langle \varphi_{m}^{(0)}| \mathcal{H}'|\varphi_{n}^{(0)}\rangle|^2}{(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)})^2}\end{aligned})]}}} 이상에서 2차 보정 에너지와 2차 보정 함수를 기입하면 아래와 같다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} E_{n}^{(2)}&=\sum_{m \neq n}\frac{|\langle \varphi_{m}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{n}^{(0)} \rangle|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}} \\ \varphi_{n}^{(2)}&=\sum_{m \neq n} \Biggl[ \Biggl[ \sum_{m' \neq n}\frac{\langle \varphi_{m}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{m'}^{(0)} \rangle\langle \varphi_{m'}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{n}^{(0)} \rangle}{(E_{n}^{(0)}-E_{m'}^{(0)})(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)})}-\frac{\langle \varphi_{n}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{n}^{(0)} \rangle\langle \varphi_{m}^{(0)} |\mathcal{H}'| \varphi_{n}^{(0)} \rangle}{(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)})^2} \Biggr]\varphi_{m}^{(0)}-\frac{1}{2}\frac{|\langle \varphi_{m}^{(0)}| \mathcal{H}'|\varphi_{n}^{(0)}\rangle|^2}{(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)})^2} \varphi_{n}^{(0)} \Biggr] \end{aligned} )]}}}|| [math(m)], [math(m')]은 모두 모든 정수이자, 더미 변수로써 상호 교환 가능하므로 위와 같이 쓸 수 있음을 참고한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기